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1. numpy数组的按元素计算

设完备事件组$A_1,A_2,\cdots ,A_n$作为引发事件$B$的$n$个因素。诸因素的先验概率构成的序列为$P(A_1),P(A_2),\cdots ,P(A_n)$，在诸因素$A_i$发生的条件下，事件$B$的似然度构成序列$P(B|A_1),P(B|A_2),\cdots ,P(B|A_n)$，这两个序列是等长（所含元素个数相同）的。序列对应元素积之和$\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$，即为用全概率公式计算的事件$B$的概率$P(B)$。Python的numpy包提供的数组array类的两个等长（所含元素个数相同）对象之间就支持这样的“按元素”运算：对应元素分别计算，得到一个新的数组（如图所示）。

运算包括常见的加+、减-、乘*、除/、幂**以及各种函数计算。例如以下代码示例了等长数组间的四则运算：

import numpy as npx=np.array([2, 3, 4])y=np.array([1, 2, 3])print(x+y)print(x-y)print(x*y)print(x/y)

运行程序，输出

[3 5 7][1 1 1][ 2  6 12][2.         1.5        1.33333333]

2. 全概率公式计算

利用numpy的这一技术，将计算全概率公式的算法表示成如下的函数定义：

def totalProb(prioProbs, likelihood):   #参数类型为np.array    return (prioProbs*likelihood).sum() #按元素乘法然后求和

上列程序定义了计算全概率公式的函数totalProb，该函数有两个numpy数组类型的参数：表示完备组先验概率序列的prioProb和表示似然度序列的likelihood。函数计算先验概率序列prioProb和似然度序列likelihood按元素的积（prioProbs*likelihood），然后调用该数组的sum方法对所得序列求和（(prioProbs*likelihood).sum()），最后将所得值作为返回值返回（第2行）。

例1 设某仓库有一批产品，已知其中甲、乙、丙三个工厂生产的产品依次占$50\%$，$30\%$和$20\%$，且甲、乙、丙厂的次品率分别为$1/10$，$1/15$和$1/20$。现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率。\ 解：设事件“从仓库中任取一件产品是正品”为$B$。$A_1,A_2,A_3$分别表示事件：“产品是甲、乙、丙厂生产的”，则$A_1,A_2,A_3$构成一个完备事件组，可视为事件$B$发生的3个因素。按题设$P(A_1)=1/2$，$P(A_2)=3/10$，$P(A_3)=1/5$（各因素的前验概率），且由$P(\bar{B}|A_1)=1/10$，$P(\bar{B}|A_2)=1/15$，$P(\bar{B}|A_3)=1/20$，得$P(B|A_1)=9/10$，$P(B|A_2)=14/15$及$P(B|A_3)=19/20$（B相对于各因素的似然率）。 运用全概率公式计算事件“从仓库中任取一件产品是正品”的概率$P(B)$，实际上就是将各因素的先验概率序列$[P(A_1),P(A_2),P(A_3)]$与似然率序列$[P(B|A_1),P(B|A_2),P(B|A_3)]$逐元素相乘，然后求和而得： $$\begin{gathered} P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3) \\ =\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{10}+\frac{3}{10}\cdot \frac{14}{15}+\frac{1}{5}\cdot \frac{19}{20}=23/25. \end{gathered}$$ 下列程序验算本例。

import numpy as np                          #导入numpyfrom sympy import Rational as R             #导入Rational类prioProb=np.array([R(1,2), R(3,10), R(1,5)])likelihood=np.array([R(9,10), R(14,15), R(19,20)])p=totalProb(prioProb, likelihood)print('P(B)=%s'%p)

第3、4行分别将$A_1,A_2,A_3$的先验概率序列$\{$

1/2,3/10,1/5}和对$B$的似然度序列 { 9 / 10 , 14 / 15 , 19 / 20 } \{9/10,14/15,19/20\} {

9/10,14/15,19/20}分别设置为numpy（第1行导入）的array类数组prioProbs和likelihood。第5行调用函数totalProb，传递参数prioProb和likelihood，返回值赋予p。第7行输出计算结果：

P(B)=23/25

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